Inhalte im Mathe-Plus-Kurs

Auf dieser Seite findet sich ein Überblick über die im Mathe-Plus-Kurs behandelten Inhalte.

Wir machen uns bewusst, dass eine mathematischer Satz stets aus einer Voraussetzung und aus einer Behauptung besteht.

Beispiel: In einem rechtwinkligen Dreieck haben die Quadrate über den Katheten a und b zusammen den gleichen Flächeninhalt wie das Quadrat über der Hypotenuse c: a2 + b2 = c2. (Satz des Pythagoras)
Die Voraussetzung ist hier: Ein Dreieck ist rechtwinklig. Die Behauptung ist: Es gilt a2 + b2 = c2. Zum besseren Verständnis hilft es oftmals, den Satz in der Wenn-Dann-Form zu formulieren: Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, dann gilt a2 + b2 = c2.

Jeder mathematische Satz bedarf eines Beweises. Wir lernen verschiedene mathematische Beweisverfahren kennen:

  • Direkter Beweis
  • Indirekter Beweis
  • Beweis durch vollständige Fallunterscheidung
  • Beweis durch vollständige Induktion

Wir lernen, dass eine Folge eine Abbildung von der Menge der natürlichen Zahlen in eine Zielmenge (meist: Menge der reellen Zahlen) ist. Ein Beispiel ist die harmonische Folge mit den Folgengliedern 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...

Manche Folgen haben einen Grenzwert, sog. konvergente Folgen. Wir lernen Kriterien für die Konvergenz von Folgen kennen sowie Verfahren zur Berechnung von Grenzwerten.

Wir lernen die algebraischen Strukturen "Gruppe", "Ring" und "Körper" kennen und untersuchen, welche Mengen mit bestimmten Verknüpfungen eine algebraische Struktur darstellen.

Zum Beispiel ist die unendliche Menge der ganzen Zahlen ℤ zusammen mit der Addition eine algebraische Gruppe. Die unendliche Menge der rationalen Zahlen ℚ ist zusammen mit der Addition und der Multiplikation ein algebraischer Körper. Wir lernen auch endliche Gruppen und endliche Körper kennen.

Wir blicken zurück auf die Erweiterungen der Zahlenbereiche, die wir beim bisherigen Mathematik-Lernen kennengelernt haben: Von den natürlichen Zahlen ℕ über die ganzen Zahlen ℤ und die rationalen Zahlen ℚ bis zu den reellen Zahlen ℝ. Damit konnten für immer neue Gleichungen Lösungen gefunden werden.

Doch auch in der Menge der reellen Zahlen haben manche Gleichungen, z. B. die Gleichung x2 + 1 = 0, keine Lösung. Wir lernen, dass deshalb die imaginäre Einheit "i" eingeführt wurde, für die i2 = -1 gilt, woraus sich komplexe Zahlen der Form z = a + bi ergeben.

Komplexe Zahlen können aus den reellen Zahlen konstruiert werden, nämlich als Paare (a; b) reeller Zahlen a und b. Zum besseren Verständnis stellen wir komplexe Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene ℂ dar, also nicht wie die reellen Zahlen auf nur einer Zahlengeraden.

Wir lernen, wie man mit komplexen Zahlen in der Summenform z = a + bi rechnet. Das Multiplizieren und Dividieren, noch mehr das Potenzieren und Radizieren komplexer Zahlen in Summenform stellt sich dabei als schwierig heraus. Einfacher ist dies bei komplexen Zahlen in Polarform z = r ‧ E(φ), wobei E(φ) = cos φ + i sin φ ist.

Wir gewinnen ein Verständnis dafür, dass eine Gleichung n-ten Grades in der Menge der komplexen Zahlen stets n Lösungen hat (nicht notwendigerweise verschieden), anders als in der Menge der reellen Zahlen, bei denen eine quadratische Gleichung (Gleichung zweiten Grades) zwei, eine oder auch keine Lösung haben kann.

Die Menge der komplexen Zahlen ℂ ist also algebraisch "leistungsfähiger", zudem ein Körper (algebraische Struktur). Jedoch gibt es in ℂ keine Ordnungsrelation ("kleiner als"), man kann also von zwei komplexen Zahlen z1 und z2 nicht sagen, welche die kleinere bzw. größere ist.

Wir lernen, wie man eine Funktion in der Umgebung einer Entwicklungsstelle x0 durch Polynomfunktionen mit wachsendem Grad immer besser annähern kann.

Wir betrachten auch die Reihenentwicklungen der trigonometrischen Funktionen sin x und cos x und stellen fest, dass es einen Zusammenhang gibt zwischen der komplexen Exponentialfunktion eix und den trigonometrischen Funktionen.

Differentialgleichungen (DG) spielen in der Physik, aber auch in anderen Naturwissenschaften und in vielen Ingenieurwissenschaften eine große Rolle. Bei einer DG sind nicht Zahlen als Lösungen gesucht, sondern Funktionen, welche die DG erfüllen. In der DG kommt die gesuchte Funktion vor und eine ihrer Ableitungen, ein Begriff, der erst im Mathematik-Unterricht der Jgst. 11 behandelt wird.

Beispiel: Im Physik-Unterricht der Jgst. 10 berechnet man die Auslenkung y eines Federpendels in Abhängigkeit von der Zeit t mit Hilfe der Methode der kleinen Schritte, allerdings nur näherungsweise. Der entsprechende Graph y(t) verläuft wie eine Sinuskurve. Die Formel für die Schwingungsdauer T kann nur mitgeteilt und experimentell überprüft werden.
Aus der Differentialgleichung für das Federpendel bzw. deren Lösung(en) ergibt sich, dass die Auslenkung y(t) exakt eine Sinus-Funktion ist. Nebenbei erhält man auch die in Jgst. 10 nur mitgeteilte Formel für die Schwingungsdauer T.